[拼音]：xianxing xitong daishu lilun

[外文]：algebraic theory of linear systems

线 系统理论中用抽象代数的语言和方法研究线 系统的一个理论分支。这种理论和方法的特点是抽象化、形式化和符号化。在这种理论中不采用有直接物理意义的时间域和频率域的语言，而是把线 系统的模型、运动和各种动态特 采用抽象的代数结构（如群、环、域、模、范畴等）和相应的抽象运算或映射关系来描述。线 系统代数理论的最早的研究是R.E.卡尔曼于1969年创建的模论方法（模是环上的“向量空间”），这个方法后经P.A.富尔曼等人的发展而更趋完善。1972年以后卡尔曼和E.W.卡门等人又把域上的线 系统理论推广为环上的线 系统理论，获得一些有意义的结果。后来对这一理论的研究被进一步抽象化，把动态系统（包括线 系统）的研究从不同角度推向更为一般的代数结构领域，使得到的结果具有更大的普遍 。

线 系统代数理论最主要的内容是模论方法。基本做法是把参考时刻t＝0以前的输入序列{u(i)}，i＝-N，－N＋1,…,0（N为正整数）,与一个形式多项式 u(z)＝相对应,u(z)全体构成输入模Ω。把t＝1以后的输出序列 {y(i)}，i＝1，2，…，与一个形式幂级数相对应,全体y(z)构成输出模Ψ。每一个u(z) 与一个y(z)相对应，即从Ω到Ψ有一个映射f，记为f:Ω →Ψ。Ω的商模Ω/ker f（ker f 表示f的核，即映象为零元的u(z)的 ）的每一个元素相当于系统的一个状态，Ω/kerf 就是系统的状态空间。在此基础上，涉及线 系统理论的许多基本问题如能控 、能观测 、实现问题等都可以用模论的语言表示，并可用代数方法得到一些有意义的结果。模论方法在线 系统理论的研究中很有成效，并已被扩展应用于更为复杂的2-D系统理论等方面的研究中。

环上的线 系统理论是普通的（域上的）线 系统理论的推广。已有结果表明，环上的线 系统在 能上显著弱于普通的线 系统。例如，能控 不再是环上的线 系统能任意配置极点的充分条件（见极点配置）。环上的线 系统理论的研究加深了对线 系统的内在规律的认识。

对在其他代数结构上定义的动态系统(包括线 系统)理论也已作了多方面的探讨,如群上的自动机、泛代数上的受扰动态系统、半自动机的泛代数描述等。

由于代数方法的抽象 ，线 系统的代数理论的结果具有较大的普遍 ，适用于很多具体系统，也有助于从代数结构的角度揭示线 系统的数学 质。抽象代数方法还能用于解决某些具体的系统理论问题。例如，可以用完备格理论阐明状态观测器的结构。又如，将能控子空间的概念推广用于计算机形式语言，便产生出能控子语言的概念。此外，代数理论的符号化特点有利于控制理论与计算机科学相结合，为在系统理论研究中使用计算机提供媒介。代数方法的缺点是不能用来解决定量 的细节问题。

参考书目

R.E.Kalman， P.L.Falb and M.A.Arbib， Topics in　Mathematical System Theory，McGraw-Hill，NewYork,1969.

凯拉斯著，李清泉等译：《线 系统》，科学出版社，北京，1985。(T.Kailath,Linear Systems，Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs., N.J., 1980.)

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