[拼音]：Wo’ertaila jifen fangcheng

[外文]：Volterra integral equation

形如

　　　(1)

和

　　　(2)

的积分方程，依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之处，仅在于它的积分上限是变量x，且α≤y≤x≤b，此处α、b是常量。沃尔泰拉积分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核K(x，y)当y>x时为零的情形。

第二种沃尔泰拉积分方程没有特征值，是区别于弗雷德霍姆积分方程的重要特点。 因此， 对一切复值λ，方程 (2)都存在解核，式中，此式，l是小于m的任何自然数。于是，对任意的自由项ƒ(x)，方程(2)都有惟一解，它可表为

。

对第一种沃尔泰拉积分方程(1)，假设K(x，x)≠0，ƒ(α)=0，且Kx(x，y)和ƒ″(x)都是连续的，则利用对(1)两边求导数的方法，可把它化为与之等价的第二种沃尔泰拉积分方程

最早被研究的一个带弱奇性核的沃尔泰拉积分方程，是阿贝尔方程，它是N.H.阿贝尔于1823年在求一个质点的落体运动轨迹与时间的关系中得到的，其中g是重力加速度，ƒ(x)是已知函数，φ(x)是未知函数。阿贝尔方程的一般形式为

　　　(3)

式中0<α<1。若G、Gx和ƒ┡都是连续的，且G(x，x)≠0，则在方程(3)的两边各乘以(u-x)α-1，再对x从0到u取积分，可得

，

式中。由于·，随之得

　　　(4)

式中方程(4)是第二种沃尔泰拉积分方程。因此，一般形式的阿贝尔方程可归结为与之等价的沃尔泰拉积分方程。

在方程(3)中当G(x，y)呏1时，则由(4)和(5)可得阿贝尔方程的求解公式

。

类似地，推广的阿贝尔方程 ，0<α<1，它的解为

。

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